Как найти площадь треугольника, если известен угол

Содержание
  1. Площадь треугольника — формулы и калькулятор онлайн
  2. Площадь треугольника через две стороны и угол между ними
  3. Площадь треугольника через основание и высоту
  4. Площадь треугольника через радиус описанной окружности и 3 стороны
  5. Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и 3 стороны
  6. Площадь треугольника через сторону и два прилежащих угла
  7. Площадь треугольника по формуле Герона
  8. Площадь прямоугольного треугольника через 2 стороны
  9. Площадь прямоугольного треугольника через гипотенузу и острый угол
  10. Площадь прямоугольного треугольника через катет и прилежащий угол
  11. Площадь прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности и гипотенузу
  12. Площадь прямоугольного треугольника через вписанную окружность
  13. Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона
  14. Площадь равнобедренного треугольника через основание и сторону
  15. Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол
  16. Площадь равнобедренного треугольника через основание и высоту
  17. Площадь равнобедренного треугольника через боковые стороны и угол между ними
  18. Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол между боковыми сторонами
  19. Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности
  20. Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности
  21. Площадь равностороннего треугольника через сторону
  22. Площадь равностороннего треугольника через высоту
  23. Как найти площадь треугольника. Формулы треугольника
  24. Как найти площадь треугольника через высоту и основание
  25. Формула Герона
  26. Площадь равностороннего треугольника
  27. Площадь треугольника по трем сторонам
  28. Формула площади сектора кольца, выраженная через внешний и внутренний радиусы
  29. Page 3
  30. Page 4
  31. Page 5
  32. Page 6
  33. Page 7
  34. Площадь треугольника
  35. Площадь треугольника по основанию и высоте
  36. Площадь равнобедренного треугольника по высоте и основанию
  37. Площадь прямоугольного треугольника по двум катетам
  38. Таблица с формулами площади треугольника
  39. Скачать формулы площади треугольника в виде картинки
  40. Вывод формул для площади произвольного треугольника
  41. Вывод формул для площади равностороннего треугольника
  42. Вывод формул для площади прямоугольного треугольника

Площадь треугольника — формулы и калькулятор онлайн

Как найти площадь треугольника, если известен угол

Задача нахождения площади треугольника довольно распространена не только в науке, но и в быту. Для вас мы разработали 21 калькулятор для нахождения площади любого треугольника — равнобедренного, равностороннего, прямоугольного или обыкновенного.

Площадь треугольника через две стороны и угол между ними

{S= \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot sin (\alpha)}

Формула для нахождения площади треугольника через 2 стороны и угол:

{S= \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot sin (\alpha)}, где a, b — стороны треугольника, α — угол между ними.

Площадь треугольника через основание и высоту

{S= \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot h}

Формула для нахождения площади треугольника через основание и высоту:

{S= \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot h}, где a — основание треугольника, h — высота треугольника.

Площадь треугольника через радиус описанной окружности и 3 стороны

{S= \dfrac{a \cdot b \cdot c}{4 \cdot R}}

Формула для нахождения площади треугольника через описанную окружность и стороны:

{S= \dfrac{a \cdot b \cdot c}{4 \cdot R}}, где a, b, c — стороны треугольника, R — радиус описанной окружности.

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и 3 стороны

{S= r \cdot \dfrac{a + b + c}{2}}

Формула для нахождения площади треугольника через вписанную окружность и стороны:

{S= r \cdot \dfrac{a + b + c}{2}}, где a, b, c — стороны треугольника, r — радиус вписанной окружности.

Формулу можно переписать иначе, если учитывать, что {\dfrac{a + b + c}{2}} — полупериметр треугольника. В этом случае формула будет выглядеть так: S = {r \cdot p}, где p — полупериметр треугольника.

Площадь треугольника через сторону и два прилежащих угла

{S= \dfrac{a2}{2} \cdot \dfrac{sin(\alpha) \cdot sin(\beta)}{sin(\gamma)}}
{\gamma = 180 — (\alpha + \beta)}

Формула для нахождения площади треугольника через сторону и 2 прилежащих угла:

{S= \dfrac{a2}{2} \cdot \dfrac{sin(\alpha) \cdot sin(\beta)}{sin(\gamma)}}, где a — сторона треугольника, α и β — прилежащие углы, γ — противолежащий угол, который можно найти по формуле:

{\gamma = 180 — (\alpha + \beta)}

Площадь треугольника по формуле Герона

{S= \sqrt{p \cdot (p-a) \cdot (p-b) \cdot (p-c)}}
{p= \dfrac{a+b+c}{2}}

Формула для нахождения площади треугольника по формуле Герона (если известны 3 стороны):

{S= \sqrt{p \cdot (p-a) \cdot (p-b) \cdot (p-c)}}, где a, b, c — стороны треугольника, p — полупериметр треугольника, который можно найти по формуле p = {\dfrac{a + b + c}{2}}

Площадь прямоугольного треугольника через 2 стороны

{S= \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b}

Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника по двум сторонам:

{S= \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b}, где a, b — стороны треугольника.

Площадь прямоугольного треугольника через гипотенузу и острый угол

{S= \dfrac{1}{4} \cdot c2 \cdot sin (2 \alpha)}

Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника по гипотенузе и острому углу:

{S= \dfrac{1}{4} \cdot c2 \cdot sin (2 \alpha)}, где c — гипотенуза треугольника, α — любой из прилегающих острых углов.

Площадь прямоугольного треугольника через катет и прилежащий угол

{S= \dfrac{1}{2} \cdot a2 \cdot tg (\alpha)}

Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника по катету и прилежащему углу:

{S= \dfrac{1}{2} \cdot a2 \cdot tg (\alpha)}, где a — катет треугольника, α — прилежащий угол.

Площадь прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности и гипотенузу

{S= r \cdot (r + c)}

Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника по радиусу вписанной окружности и гипотенузе:

{S= r \cdot (r+c)}, где c — гипотенуза треугольника, r — радиус вписанной окружности.

Площадь прямоугольного треугольника через вписанную окружность

{S= c_{1} \cdot c_{2}}

Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника по вписанной окружности:

{S= c_{1} \cdot c_{2}}, где c1 и c2 — части гипотенузы.

Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона

{S= (p-a) \cdot (p-b)}
{p= \dfrac{a+b+c}{2}}

Формула Герона для прямоугольного треугольника выглядит так:

{S= (p-a) \cdot (p-b)}, где a, b — катеты треугольника, p — полупериметр прямоугольного треугольника, который рассчитывается по формуле p = {\dfrac{a + b + c}{2}}

Площадь равнобедренного треугольника через основание и сторону

{S=\dfrac{b}{4} \sqrt{4 \cdot a2-b2}}

Формула площади равнобедренного треугольника через основание и сторону:

{S=\dfrac{b}{4} \sqrt{4 \cdot a2-b2}}, где a — боковая сторона треугольника, b — основание треугольника

Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол

{S=\dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot sin( \alpha)}

Формула площади равнобедренного треугольника через основание и угол:

{S=\dfrac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot sin( \alpha)}, где a — боковая сторона треугольника, b — основание треугольника, α — угол между основанием и стороной.

Площадь равнобедренного треугольника через основание и высоту

{S=\dfrac{1}{2} \cdot b \cdot h}

Формула площади равнобедренного треугольника через основание и высоту:

{S=\dfrac{1}{2} \cdot b \cdot h}, где b — основание треугольника, h — высота, проведенная к основанию.

Площадь равнобедренного треугольника через боковые стороны и угол между ними

{S=\dfrac{1}{2} \cdot a2 \cdot sin(\alpha)}

Формула площади равнобедренного треугольника через боковые стороны и угол между ними:

{S=\dfrac{1}{2} \cdot a2 \cdot sin(\alpha)}, где a — боковая сторона треугольника, α — угол между боковыми сторонами.

Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол между боковыми сторонами

{S=\dfrac{b2}{4 \cdot tg \dfrac{\alpha}{2}}}

Формула площади равнобедренного треугольника через основание и угол между боковыми сторонами:

{S=\dfrac{b2}{4 \cdot tg \dfrac{\alpha}{2}}}, где b — основание треугольника, α — угол между боковыми сторонами.

Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности

{S= \dfrac{3 \sqrt{3} \cdot R2}{4}}

Формула площади равностороннего треугольника через радиус описанной окружности:

{S= \dfrac{3 \sqrt{3} \cdot R2}{4}}, где R — радиус описанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности

{S= 3 \sqrt{3} \cdot r2}

Формула площади равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:

{S= 3 \sqrt{3} \cdot r2}, где r — радиус вписанной окружности.

Площадь равностороннего треугольника через сторону

{S= \dfrac{\sqrt{3} \cdot a2}{4}}

Формула площади равностороннего треугольника через сторону:

{S= \dfrac{\sqrt{3} \cdot a2}{4}}, где a — сторона треугольника.

Площадь равностороннего треугольника через высоту

{S= \dfrac{h2}{\sqrt{3}}}

Формула площади равностороннего треугольника через высоту:

{S= \dfrac{h2}{\sqrt{3}}}, где h — высота треугольника.

Просмотров страницы: 220623

Источник: https://mnogoformul.ru/ploshhad-treugolnika-formuly-i-kalkulator-online

Как найти площадь треугольника. Формулы треугольника

Как найти площадь треугольника, если известен угол

Понятие площади любой геометрической фигуры, в частности треугольника, будем связывать с такой фигурой, как квадрат. За единицу площади любой геометрической фигуры будем принимать площадь квадрата, сторона которого равняется единице. Для полноты, вспомним два основных свойства для понятия площадей геометрических фигур.

Свойство 1: Если геометрические фигуры равны, то значения их площадей также равны.

Свойство 2: Любая фигура может быть разбита на несколько фигур. Причем площадь первоначальной фигуры равняется сумме значений площадей всех составляющих её фигур.

Рассмотрим пример.

Пример 1

Найти площадь треугольника на рисунке ниже, если клетка имеет площадь, равную единице

Решение.

Очевидно, что одна из сторон треугольника является диагональю прямоугольника, у которого одна сторона имеет длину $5$ (так как $5$ клеток), а вторая $6$ (так как $6$ клеток). Следовательно, площадь этого треугольника будет равняться половине такого прямоугольника. Площадь прямоугольника равняется

$5\cdot 6=30$

Тогда площадь треугольника равняется

$30:2=15$

Ответ: $15$.

  • Курсовая работа 440 руб.
  • Реферат 280 руб.
  • Контрольная работа 230 руб.

Далее рассмотрим несколько методов для нахождения площадей треугольников, а именно с помощью высоты и основания, с помощью формулы Герона и площадь равностороннего треугольника.

Как найти площадь треугольника через высоту и основание

Теорема 1

Площадь треугольника можно найти как половину произведения длины стороны, на высоту, проведенную к этой стороне.

Математически это выглядит следующим образом

$S=\frac{1}{2}αh$

где $a$ — длина стороны, $h$ — высота, проведенная к ней.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором $AC=α$. К этой стороне проведена высота $BH$, которая равняется $h$. Достроим его до квадрата $AXYC$ как на рисунке 2.

Площадь прямоугольника $AXBH$ равняется $h\cdot AH$, а прямоугольника $HBYC$ равняется $h\cdot HC$. Тогда

$S_ABH=\frac{1}{2}h\cdot AH$, $S_CBH=\frac{1}{2}h\cdot HC$

Следовательно, искомая площадь треугольника, по свойству 2, равняется

$S=S_ABH+S_CBH=\frac{1}{2}h\cdot AH+\frac{1}{2}h\cdot HC=\frac{1}{2}h\cdot (AH+HC)=\frac{1}{2}αh$

Теорема доказана.

Пример 2

Найти площадь треугольника на рисунке ниже, если клетка имеет площадь, равную единице

Решение.

Основание этого треугольника равняется $9$ (так как $9$ составляет $9$ клеток). Высота также равняется $9$. Тогда, по теореме 1, получим

$S=\frac{1}{2}\cdot 9\cdot 9=40,5$

Ответ: $40,5$.

Формула Герона

Теорема 2

Если нам даны три стороны треугольника $α$, $β$ и $γ$, то его площадь можно найти следующим образом

$S=\sqrt{ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}$

здесь $ρ$ означает полупериметр этого треугольника.

Доказательство.

Рассмотрим следующий рисунок:

По теореме Пифагора из треугольника $ABH$ получим

$h2=γ2-x2$

Из треугольника $CBH$, по теореме Пифагора, имеем

$h2=α2-(β-x)2$

$h2=α2-β2+2βx-x2$

Из этих двух соотношений получаем равенство

$γ2-x2=α2-β2+2βx-x2$

То есть

$x=\frac{γ2-α2+β2}{2β}$

Получим

$h2=γ2-(\frac{γ2-α2+β2}{2β})2$

$h2=\frac{(α2-(γ-β)2 )((γ+β)2-α2)}{4β2}$

$h2=\frac{(α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α)}{4β2}$

Так как $ρ=\frac{α+β+γ}{2}$, то $α+β+γ=2ρ$, значит

$h2=\frac{2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α)}{4β2}$

$h2=\frac{4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}{β2 }$

$h=\sqrt{\frac{4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}{β2}}$

$h=\frac{2}{β}\sqrt{ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}$

По теореме 1, получим

$S=\frac{1}{2} βh=\frac{β}{2}\cdot \frac{2}{β} \sqrt{ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}=\sqrt{ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ)}$

Теорема доказана.

Площадь равностороннего треугольника

Теорема 3

Площадь равностороннего треугольника определяется как произведение квадрата стороны с числом $\frac{\sqrt{3}}{4}$.

Математически это выглядит следующим образом

$S=\frac{α2\sqrt{3}}{4}$

где $α$ – сторона треугольника.

Доказательство.

Пусть нам дан равносторонний треугольник, у которого сторона равняется $α$. Проведем высоту $h$ (рис. 5).

Высота равностороннего треугольника является также и медианой, значит, по теореме Пифагора

$h2=α2-\frac{α2}{4}$

$h2=\frac{3}{4} α2$

$h=\frac{α\sqrt{3}}{2}$

Значит по теореме 1:

$S=\frac{α2\sqrt{3}}{4}$

Теорема доказана.

Пример 3

Найти площадь равностороннего треугольника, если его сторона равняется $2$.

Решение.

Используя теорему 3, получим

$S=\frac{4\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}$

Ответ: $\sqrt{3}$.

Источник: https://spravochnick.ru/geometriya/treugolniki_vidy_treugolnikov_svoystva_treugolnikov/kak_nayti_ploschad_treugolnika_formuly_treugolnika/

Площадь треугольника по трем сторонам

Как найти площадь треугольника, если известен угол

Сектор кругового кольца – это плоская фигура, которая представляет собой часть плоскости между дугами двух окружностей с общим центром и разным радиусами, ограниченных двумя радиальными линиями, которые проведены к концам дуги с большим радиусом.

Формула площади сектора кольца, выраженная через внешний и внутренний радиусы

Пусть дана окружность радиуса R и окружности радиуса r. Причем R>r. Совместим центры этих окружностей. Возьмем на окружности с большим радиусом две произвольные точки. Проведем к ним радиусы, которые образуют угол α. Эти радиусы отсекут от окружностей некоторые дуги.

Фигура, заключенная между этими дугами окружностей и радиусами, проведенными к концам этих дуг, и будет сектор кольца, у которого R является внешним радиусом, r -внутренним радиусом.Тогда площадь этой фигуры будет равна разницы между площадью сектора круга с большим радиусом и площадью сектора круга с меньшим радиусом.

Площадь сектора круга с радиусом r выражается формулой:

где l–длина дуги равная Подставим выражение длины дуги в формулу площади сектора. Получим:
Площадь круга с радиусом R выражается формулой:
где L–длина дуги равная Подставим выражение длины дуги в формулу площади сектора.

Получим:

Тогда площадь кольца будет равна:

Таким образом, площадь сектора кольца равна произведению площади единичного сектора кольца, то есть сектору, соответствующему центральному углу с мерой равной единице на меру центрального угла, соответствующего данному сектору.

Формула имеет вид:

Пример расчета площади сектора кольца, если известны его радиусы.Найдите площадь сектора кольца, образованного углом 30° , если его внешний радиус равен 14, а внутренний – 8.Площадь кольца вычисляется по формуле:

Подставив значения из условия задачи, имеем:

Page 3

Чтобы найти объем конуса необходимо произвести дополнительные построения.

Построим вписанную в конус правильную n-угольную пирамиду и опишем вокруг данного конуса правильную n-угольную пирамиду.Вписанная пирамида содержится в конусе. Из этого следует, что ее объем не больше объема конуса.

Описанная пирамида содержит конус, а это значит, что ее объем не меньше объема конуса.

Впишем в основание вписанной пирамиды окружность.
Если радиус вписанного правильного n-угольника равен R, то радиус вписанной в него окружности будет равен:

Объем вписанной пирамиды вычисляется по формуле:

где S – основание пирамиды.
Площадь данного круга вычисляется по формуле: Площадь основания вписанной пирамиды не меньше площади круга, содержащегося в ней

Поэтому утверждение, что объем вписанной в конус пирамиды не меньше верно.

А следовательно, мы может утверждать, что объем конуса, содержащий эту пирамиду будет больше или равен
V≥

Теперь опишем окружность вокруг основания описанной вокруг конуса пирамиды.
Радиус этой окружности будет равен:

Площадь данного круга вычисляется по формуле:
Основание описанной пирамиды содержится в круге описанном вокруг него. Поэтому площадь основания пирамиды не больше
Поэтому утверждение,что объем описанной пирамиды не больше верно.

А следовательно, мы может утверждать, что объем конуса, содержащий в эту пирамиду будет меньше или равен

Два полученных неравенства равны при любом n.

Если то
Тогда из первого неравенства следует, что V≥
Из второго неравенства

Отсюда следует, что

Объем конуса равен одной трети произведения радиуса на высоту.

Пример расчета объема конусаНайти объем конуса, если его радиус основания равен 3 см, а образующая 5 см.

Объем конуса вычисляется по формуле:

Для того, чтобы воспользоваться данной формулой необходимо найти высоту конуса. Образующая конуса, его высота и радиус основания образуют прямоугольный треугольник.

Воспользовавшись теоремой Пифагора имеем:

Отсюда:

Подставим значение радиуса и высоты в формулу объема конуса.Имеем:

Page 4

При нахождении объема усеченного конуса целесообразней рассматривать разность объема полного конуса и объема отсеченного конуса.

Дополним данный усеченный конус до полного . Пусть его высота будет x . Если высота усеченного конуса – h , то высота отсеченного конуса будет – x-h .

Высота усеченного конуса будет равна разности объема полного конуса с радиусом R1и высотой x и объема полного конуса с радиусом R2. и высотой x-h.

Из подобия этих конусов получаем:
Выразим x:

Тогда объем усеченного конуса можно выразить:
Применив формулу разницы кубов, имеем:

Таким образом, формула объема усеченной пирамиды имеет вид:

Пример расчета объема усеченного конусаРадиусы основания усеченного конуса равны 11 и 27 , образующая относится к высоте как 17:15 . Найдите объем усеченного конуса.

Объем усеченного конуса вычисляется по формуле:
Для того, чтобы воспользоваться данной формулой необходимо найти высоту конуса. Образующая конуса, его высота и разница радиусов оснований образуют прямоугольный треугольник.

Воспользовавшись теоремой Пифагора получаем: Так как образующая относится к высоте как 17:15, то L=17x, H=15x.

Тогда:

Тогда высота усеченного конуса будет равна:

Подставим значения в формулу объема усеченного конуса. Получим:

Page 5

При нахождении объема усеченного конуса целесообразней рассматривать разность объема полного конуса и объема отсеченного конуса. Читать далее

Чтобы найти объем конуса необходимо произвести дополнительные построения. Читать далее

Усеченный конус – это часть конуса, ограниченная между двумя параллельными основаниями перпендикулярными его оси симметрии. Читать далее

Пусть α– плоскость, точка S– точка, не лежащая в этой плоскости. Возьмем на плоскости произвольный круг с радиусом R. Читать далее

Сектор кругового кольца – это плоская фигура, которая представляет собой часть плоскости между дугами двух окружностей с общим центром и разным радиусами, ограниченных двумя радиальными линиями, которые проведены к концам дуги с большим радиусом. Читать далее

Кольцо – это плоская геометрическая фигура, которая представляет собой часть плоскости между двумя окружностями с общим центром, но имеющими разный радиус. Читать далее

Очень часто на практике приходится сталкиваться с задачей нахождения длины дуги. Читать далее

Шестиугольной пирамидой называется многогранник, в основании которого лежит правильный шестиугольник, а боковые грани образуются одинаковыми равнобедренными треугольниками. Читать далее

Многогранник, в основании которого лежит правильный треугольник, а остальные грани представлены равнобедренными треугольниками называется треугольной пирамидой. Читать далее

Четырехугольной пирамидой называется многогранник, в основании которого лежит квадрат, а все боковые грани являются одинаковыми равнобедренными треугольниками. Читать далее

Page 6

У большинства детей младшего школьного возраста хорошо развита механическая память, которая задействуется при выучивании правил.

Но для отдельных детей, а особенно творческих личностей, зубрежка является невыносимой.

Родители, думающие, что их чадо не способно освоить изучение таблицы умножения и поэтому в дальнейшем будет отставать в математике, заблуждаются. На самом деле к нему нужен совершенно другой, особый подход.

Читать далее

Ниже представлена таблица степеней от 2 до 10 натуральных чисел от 1 до 20.
Читать далее

Таблица кубов натуральных чисел от 1 до 100
Читать далее

Таблица факториалов от 1 до 40
Читать далее

Page 7

При нахождении объема усеченного конуса целесообразней рассматривать разность объема полного конуса и объема отсеченного конуса. Читать далее

Чтобы найти объем конуса необходимо произвести дополнительные построения. Читать далее

Усеченный конус – это часть конуса, ограниченная между двумя параллельными основаниями перпендикулярными его оси симметрии. Читать далее

Пусть α– плоскость, точка S– точка, не лежащая в этой плоскости. Возьмем на плоскости произвольный круг с радиусом R. Читать далее

Сектор кругового кольца – это плоская фигура, которая представляет собой часть плоскости между дугами двух окружностей с общим центром и разным радиусами, ограниченных двумя радиальными линиями, которые проведены к концам дуги с большим радиусом. Читать далее

Кольцо – это плоская геометрическая фигура, которая представляет собой часть плоскости между двумя окружностями с общим центром, но имеющими разный радиус. Читать далее

Очень часто на практике приходится сталкиваться с задачей нахождения длины дуги. Читать далее

Шестиугольной пирамидой называется многогранник, в основании которого лежит правильный шестиугольник, а боковые грани образуются одинаковыми равнобедренными треугольниками. Читать далее

Многогранник, в основании которого лежит правильный треугольник, а остальные грани представлены равнобедренными треугольниками называется треугольной пирамидой. Читать далее

Четырехугольной пирамидой называется многогранник, в основании которого лежит квадрат, а все боковые грани являются одинаковыми равнобедренными треугольниками. Читать далее

Источник: https://2mb.ru/matematika/geometriya/ploshhad-treugolnika-po-trem-storonam/

Площадь треугольника

Как найти площадь треугольника, если известен угол

 → 

Геометрия

 → 

Площадь треугольника

Площадь треугольника, формулы для вычисления площади различных видов треугольников в зависимости от известных исходных данных, калькулятор для нахождения площади онлайн и сводная таблица с формулами площадей треугольников.

Таблица с формулами площади треугольника (в конце страницы)

Скачать формулы площади треугольника в виде картинки или файла PDF (в конце страницы)

— Вычисления   (показано)   (скрыто)

— примечания   (показано)   (скрыто)

Для всех треугольников

1

Площадь треугольника по основанию и высоте

Сторона a

Высота h

Основанием треугольника может быть выбрана любая из сторон треугольника.

2

Сторона a

Сторона b

Угол α° между сторонами a и b

Угол α между сторонами может быть любым: тупым, острым, прямым.

3

Сторона a

Сторона b

Сторона c

Радиус r вписанной окружности

4

Сторона a

Сторона b

Сторона c

Радиус R описанной окружности

5

Полупериметр: 

Сторона a

Сторона b

Сторона c

6

Сторона a

Угол β°

Угол α°

Для равнобедренных треугольников

7

Сторона a (a = b)

Сторона c

8

Боковая сторона a (a = b)

Угол α° между боковыми сторонами

9

Боковая сторона a (a = b)

Основание треугольника c

Угол β° между основанием и стороной

10

Основание треугольника c

Угол α° между боковыми сторонами

Для равносторонних треугольников

11

Площадь равнобедренного треугольника по высоте и основанию

Основание треугольника c

Высота h

12

Сторона a (a = b = c)

13

Высота h

14

Радиус r вписанной окружности

15

Радиус R описанной окружности

Для прямоугольных треугольников

16

Площадь прямоугольного треугольника по двум катетам

Катет a

Катет b

17

Сторона c

Угол α

18

Сторона b

Угол α

19

Отрезок d

Отрезок e

20

Сторона с

Радиус r

21

Полупериметр: 

Сторона a

Сторона b

Сторона c

Для вычисления площади треугольника применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Выше приведены формулы и калькулятор, который поможет вычислить площадь треугольника или проверить уже выполненные вычисления. Приведены общие формулы для всех типов треугольников, частные случаи для равносторонних, равнобедренных и прямоугольных треугольников.

Наш калькулятор для вычисления площади поможет вам вычислить площадь разных видов треугольников или проверить уже выполненные вычисления.

В зависимости от вида треугольника и его известных исходных данных, площадь треугольника можно вычислить по различным формулам.

Таблица с формулами площади треугольника

Определения

Площадь треугольника — это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной геометрической фигурой, образованной тремя отрезками (сторонами), которые соединяют три точки (вершины), не лежащие на одной прямой.

Треугольник – это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Отрезки называют сторонами треугольника, а точки – вершинами треугольника.

Площадь – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Площадь измеряется в единицах измерения в квадрате: км2, м2, см2, мм2 и т.д.

Скачать формулы площади треугольника в виде картинки

Источник: https://doza.pro/art/math/geometry/area-triangle

Вывод формул для площади произвольного треугольника

      Утверждение 1. Площадь треугольника можно найти по формуле

где a – любая сторона треугольника, а ha – высота, опущенная на эту сторону.

      Доказательство.

Рис. 1

Достроив треугольник ABC до параллелограммапараллелограмма ABDC (рис. 1), получим

что и требовалось доказать.

      Утверждение 2. Площадь треугольника можно найти по формуле

где a и b – две любые стороны треугольника, а С – угол между ними.

      Доказательство.

Рис. 2

Поскольку

ha = b sin C ,

то, в силу утверждения 1, справедлива формула

что и требовалось доказать.

      Утверждение 3. Площадь треугольника можно найти по формуле

где a – любая сторона треугольника, а B, С – прилежащие к ней углы.

      Замечание. Докажем утверждение 3 в случае остроугольного треугольника. Доказательство в случаях прямоугольного и тупоугольного треугольников требует лишь незначительных изменений, совершить которые мы предоставляем читателю в качестве самостоятельного упражнения.

      Доказательство.

Рис. 3

Поскольку (рис.3)

x = hactg C ,       y = hactg B ,

то

a = x + y =
= hactg C + hactg B =
= ha( ctg C + ctg B) .

      Следовательно,

      Поэтому

что и требовалось доказать.

      Утверждение 4. Площадь треугольника можно найти по формуле

где a, b, c – стороны треугольника, а r – радиус вписанной окружности.

      Доказательство.

Рис. 4

Соединив центр O вписанной окружности с вершинами треугольника (рис.4), получим

что и требовалось доказать.

      Утверждение 5. Площадь треугольника можно найти по формуле

где a, b, c – стороны треугольника, а R – радиус описанной окружности.

      Доказательство.

Рис. 5

В силу теоремы синусов справедливо равенство

.

      Следовательно,

      Поэтому

что и требовалось доказать.

      Утверждение 6. Площадь треугольника можно найти по формуле:

S = 2R2 sin A sin B sin C ,

где A, B, С – углы треугольника, а R – радиус описанной окружности.

      Доказательство.

Рис. 6

В силу теоремы синусов справедливо равенство

.

      Поэтому

a = 2R sin A ,    
b = 2R sin B ,    
c = 2R  sin C ,

      В силу утверждения 5

что и требовалось доказать.

Вывод формул для площади равностороннего треугольника

      Утверждение 7.

      Доказательство.

Вывод формул для площади прямоугольного треугольника

      Утверждение 8.

      Доказательство.

  1. Рассмотрим рисунок 11.

  2. Рис. 11

    В силу утверждения 2

  3. Рассмотрим рисунок 12.

  4. Рис. 12

    Поскольку

    b = a tg φ ,

    то

  5. Рассмотрим рисунок 13.

  6. Рис. 13

    Поскольку

    b = a ctg φ ,

    то

  7. Рассмотрим рисунок 14.

  8. Рис. 14

    Поскольку

    a = c cos φ ,    
    b = c sin φ ,

    то

          Доказательство утверждения 8 завершено.

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Источник: https://www.resolventa.ru/spr/planimetry/sqt.htm

Делаем просто
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: