Как определить точку экстремума

Содержание
  1. Экстремумы функции – что это такое: как найти критическую точку максимума и минимума
  2. Что такое экстремум?
  3. Экстремумы производной функции
  4. Острый экстремум
  5. Экстремальное значение функции
  6. Необходимое условие экстремума функции
  7. Экстремум функционала
  8. Вывод
  9. Точки экстремума функции. Как найти точки экстремума. Сумма точек экстремума
  10. О самом понятии на конкретном примере
  11. Угол наклона
  12. Движение
  13. Физический смысл производной
  14. Движение под влиянием силы притяжения
  15. Вторая производная
  16. График ускорения
  17. Когда ускорение стремится к нулю
  18. Задача на сложение координат
  19. Оптимальное решение
  20. Из античной истории
  21. Строительство Карфагена
  22. Истоки математического анализа
  23. Задача на нахождение максимальной площади
  24. Как найти максимальную скорость
  25. Максимумы, минимумы и экстремумы функций
  26. Минимумы и максимумы вместе именуют экстремумами функции
  27. В точках экстремумов (т.е. максимумов и минимумов) производная равна нулю
  28. — Производная положительна там, где функция возрастает. — Производная отрицательна там, где функция убывает.
  29. — Функция имеет максимум там, где производная равна нулю и меняет знак с плюса на минус. — Функция имеет минимум там, где производная равна нулю и меняет знак с минуса на плюс.
  30. Алгебра – 10 класс. Точки экстремумов функций
  31. Введение в экстремумы функций
  32. Точки минимума и максимума
  33. Экстремумы функции
  34. Как вычислять экстремумы?
  35. Примеры нахождения точки экстремумов
  36. Задачи для самостоятельного решения
  37. Понятие экстремума функции
  38. Необходимое условие экстремума
  39. Первое достаточное условие экстремума

Экстремумы функции – что это такое: как найти критическую точку максимума и минимума

Как определить точку экстремума

Из данной статьи читатель узнает о том, что такое экстремум функционального значения, а также об особенностях его использования в практической деятельности. Изучение такого концепта крайне важно для понимания основ высшей математики. Эта тема является основополагающей для более глубокого изучения курса.

Что такое экстремум?

В школьном курсе дается множество определений понятия «экстремум». Данная статья призвана дать самое глубокое и четкое представление о термине для несведущих в вопросе лиц. Итак, под термином понимают, насколько функциональный промежуток приобретает минимальное либо максимальное значение на том или ином множестве.

Экстремум – это и минимальное значение функции, и максимальное одновременно. Различают точку минимума и точку максимума, то есть крайние значения аргумента на графике. Основные науки, в которых используют данный концепт:

  • экономика,
  • статистика,
  • биология,
  • машинное управление,
  • эконометрика.

Точки экстремума играют важную роль в определении последовательности заданной функции. Система координат на графике в лучшем виде показывает изменение экстремального положения в зависимости от изменения функциональности.

! Свойства натуральных логарифмов: график, основание, функции, предел, формулы и область определения

Экстремумы производной функции

Имеет также место такое явление, как «производная». Она необходима для определения точки экстремума. Важно не путать точки минимума либо максимума с наибольшим и наименьшим значением. Это разные понятия, хотя могут показаться похожими.

Производная функция

Значение функции является основным фактором для определения того, как найти точку максимума. Производная не образуется от значений, а исключительно от крайнего ее положения в том или ином его порядке.

Сама же по себе производная определяется на основе данных точек экстремума, а не наибольшего или наименьшего значения. В российских школах недостаточно четко проводят грань между этими двумя концептами, что влияет на понимание данной темы вообще.

! Как определить определенные интегралы от нуля, константы и с доказательством

Острый экстремум

Давайте теперь рассмотрим такое понятие как «острый экстремум». На сегодняшний день выделяют острый минимум значения и острый максимум значения. Определение дано в соответствии с российской классификацией критических точек функции. Концепт точки экстремума лежит в основе нахождения критических точек на графике.

Острый экстремум Важно! Процесс нахождения точек острого экстремума функции называется дифференцированием и используется как в школьном курсе изучения алгебры и начала анализа, так и в ходе освоения высшей математики в университете.

Экстремальное значение функции

Для определения такого понятия прибегают к использованию теоремы Ферма. Она является важнейшей в ходе изучения крайних точек и дает четкое представление об их существовании в том или ином их виде. Для обеспечения экстремальности важно создать определенные условия для убывания либо возрастания на графике.

Для точного ответить на вопрос «как найти точку максимума», необходимо следовать таким положениям:

  1. Нахождение точной области определения на графике.
  2. Поиск производной функции и точки экстремума.
  3. Решать стандартные неравенства на область нахождения аргумента.
  4. Уметь доказывать, в каких функциях точка на графике определена и непрерывна.

Экстремальное значение функции Внимание! Поиск критической точки функции возможен только в случае существования производной не менее второго порядка, что обеспечивается высокой долей наличия точки экстремума.

Необходимое условие экстремума функции

Для того чтобы существовал экстремум, важно, чтобы были как точки минимума, так и точки максимума. В случае если это правило соблюдено лишь частично, то условие существование экстремума нарушается.

Точки минимума и максимума

Каждая функция в любом положении должна быть продифференцирована с целью выявления ее новых значений. Важно понимать, что случай обращения точки в ноль не является основным принципом нахождения дифференцируемой точки.

Острый экстремум, также как и минимум функции – это крайне важный аспект решения математической задачи с использованием экстремальных значений. Для того чтобы лучше понимать данную составляющую, важно обратиться к табличным значениям по заданию функционала.

Полное исследование значенияПостроение графика значения
1.      Определение точек возрастания и убывания значений. 2.      Нахождение точек разрыва, экстремума и пересечение с координатными осями.3.      Процесс определения изменений положения на графике.4.      Определение показателя и направления выпуклости и выгнутости с учетом наличия асимптот.5.      Создание сводной таблицы исследования с точки зрения определения ее координат.6.      Нахождение промежутков возрастания и убывания крайних и острых точек.7.      Определение выпуклости и вогнутости кривой.8.      Построение графика с учетом исследования позволяет найти минимум либо максимум.Основным элементом при необходимости работы с экстремумами является точное построение его графика. Школьные учителя не часто уделяют столь важному аспекту максимум внимания, что является грубейшим нарушением учебного процесса.Построение графика происходит только по итогам исследования функциональных данных, определения острых экстремумов, а также точек на графике.Острые экстремумы производной функции отображаются на графике точных значений, с использованием стандартной процедуры определения асимптот.Точки максимума и минимума функции сопровождаются более сложными построениями графика. Это обусловлено более глубокой необходимостью прорабатывать проблему острого экстремума.Необходимо также находить производную сложной и простой функции, так как это одно из самых главных понятий проблематики экстремума.

Экстремум функционала

Для того чтобы отыскать вышеозначенное значение, необходимо придерживаться следующих правил:

  • определить необходимое условие экстремального отношения,
  • учитывать достаточное условие крайних точек на графике,
  • осуществлять расчет острого экстремума.

Используются также такие понятия, как слабый минимум и сильный минимум. Это необходимо учитывать при определении экстремума и точного его расчета. При этом острый функционал – это поиск и создание всех необходимых условий для работы с графиком функции.

! Легкие правила округления чисел после запятой

Экстремумы функции. 10 класс.

Исследование функции. Экстремумы функции bezbotvy

Вывод

После прочтения и осознания данной статьи любой новичок в математике имеет возможность понять возможности острых экстремумов в том виде, в каком они используются в образовательном процессе. Вышеперечисленные моменты позволяют разобраться в крайних точках без помощи репетиторов.

Источник: https://tvercult.ru/nauka/chto-takoe-ekstremumyi-funktsii-kriticheskie-tochki-maksimuma-i-minimuma

Точки экстремума функции. Как найти точки экстремума. Сумма точек экстремума

Как определить точку экстремума

Важным понятием в математике является функция. С её помощью можно наглядно представить многие процессы, происходящие в природе, отразить с использованием формул, таблиц и изображений на графике взаимосвязь между определёнными величинами.

Примером может служить зависимость давления слоя жидкости на тело от глубины погружения, ускорения — от действия на объект определённой силы, увеличения температуры — от передаваемой энергии и многие другие процессы. Исследование функции предполагает построение графика, выяснение её свойств, области определения и значений, промежутков возрастания и убывания.

Важным моментом в данном процессе является нахождение точек экстремума. О том, как правильно это делать, и пойдёт разговор далее.

О самом понятии на конкретном примере

В медицине построение графика функции может рассказать о ходе развития болезни в организме пациента, наглядно отражая его состояние. Предположим, по оси ОХ откладывается время в сутках, а по оси ОУ — температура тела человека.

На рисунке хорошо видно, как этот показатель резко поднимается, а потом падает. Нетрудно заметить также особые точки, отражающие моменты, когда функция, ранее возрастая, начинает убывать, и наоборот.

Это точки экстремума, то есть критические значения (максимальные и минимальные) в данном случае температуры больного, после которых наступают изменения в его состоянии.

Угол наклона

Легко можно определить по рисунку, как изменяется производная функции. Если прямые линии графика с течением времени идут вверх, то она положительна.

И чем они круче, тем большее значение принимает производная, так как растет угол наклона.

В периоды убывания эта величина принимает отрицательные значения, в точках экстремума обращаясь в ноль, а график производной в последнем случае рисуется параллельно оси ОХ.

Любой другой процесс следует рассматривать аналогичным образом. Но лучше всего об этом понятии может рассказать перемещение различных тел, наглядно показанное на графиках.

Движение

Предположим, некоторый объект движется по прямой, равномерно набирая скорость. В этот период изменение координаты тела графически представляет собой некую кривую, которую математик назвал бы ветвью параболы.

При этом функция постоянно возрастает, так как показатели координаты с каждой секундой изменяются всё быстрей. График скорости демонстрирует поведение производной, значение которой также увеличивается.

А значит, движение не имеет критических точек.

Так бы и продолжалось бесконечно долго. Но если тело вдруг решит затормозить, остановиться и начать двигаться в другом направлении? В данном случае показатели координаты начнут уменьшаться. А функция перейдёт критическое значение и из возрастающей превратится в убывающую.

На этом примере снова можно понять, что точки экстремума на графике функции появляются в моменты, когда она перестаёт быть монотонной.

Физический смысл производной

Описанное ранее наглядно показало, что производная по сути является скоростью изменения функции. В данном уточнении и заключён её физический смысл. Точки экстремума – это критические области на графике. Их возможно выяснить и обнаружить, вычислив значение производной, которая оказывается равной нулю.

Существует и другой признак, который является достаточным условием экстремума. Производная в таких местах перегиба меняет свой знак: с «+» на «-» в области максимума и с «-» на «+» в районе минимума.

Движение под влиянием силы притяжения

Представим ещё одну ситуацию. Дети, играя в мяч, бросили его таким образом, что он начал двигаться под углом к горизонту.

В начальный момент скорость данного объекта являлась самой большой, но под действием силы тяжести начала уменьшаться, причём с каждой секундой на одну и ту же величину, равную приблизительно 9,8 м/с2.

Это значение ускорения, возникающего под влиянием земной гравитации при свободном падении. На Луне оно бы было примерно в шесть раз меньше.

Графиком, описывающим перемещение тела, является парабола с ветвями, направленными вниз. Как найти точки экстремума? В данном случае это вершина функции, где скорость тела (мяча) принимает нулевое значение.

Производная функции становится равной нулю. При этом направление, а следовательно, и значение скорости, меняется на противоположное.

Тело летит вниз с каждой секундой всё быстрее, причём ускоряется на ту же величину — 9,8 м/с2.

Вторая производная

В предыдущем случае график модуля скорости рисуется как прямая. Данная линия оказывается сначала направлена вниз, так как значение этой величины постоянно убывает. Достигнув нуля в один из моментов времени, далее показатели этой величины начинают возрастать, а направление графического изображения модуля скорости кардинально меняется. Теперь линия направлена вверх.

Скорость, являясь производной от координаты по времени, тоже имеет критическую точку. В этой области функция, вначале убывая, начинает возрастать. Это место точки экстремума производной функции.

В данном случае угол наклона касательной становится равным нулю. А ускорение, являясь второй производной от координаты по времени, меняет знак с «-» на «+».

И движение из равнозамедленного становится равноускоренным.

График ускорения

Теперь рассмотрим четыре рисунка. На каждом из них отображён график изменения с течением времени такой физической величины, как ускорение. В случае «А» значение его остаётся положительным и постоянным. Это означает, что скорость тела, как и его координата, постоянно увеличивается.

Если представить, что объект будет двигаться таким образом бесконечно долго, функция, отражающая зависимость координаты от времени, окажется постоянно возрастающей. Из этого следует, что она не имеет критических областей.

Точки экстремума на графике производной, то есть линейно изменяющейся скорости, также отсутствуют.

То же касается и случая «Б» с положительным и постоянно увеличивающимся ускорением. Правда, графики для координаты и скорости здесь будут несколько сложнее.

Когда ускорение стремится к нулю

Рассматривая рисунок «В», можно наблюдать совсем другую картину, характеризующую движение тела. Скорость его графически будет изображаться параболой с ветвями, направленными вниз.

Если продолжить линию, описывающую изменение ускорения до пересечения её с осью ОХ, и дальше, то можно представить, что до этого критического значения, где ускорение окажется равным нулю, скорость объекта будет увеличиваться всё медленнее.

Точка экстремума производной от функции координаты окажется как раз в вершине параболы, после чего тело кардинально поменяет характер движения и начнёт двигаться в другом направлении.

В последнем случае, «Г», характер движения точно определить невозможно. Здесь известно только, что ускорение за некоторый рассматриваемый период отсутствует. Значит, объект может оставаться на месте или движение происходит с постоянной скоростью.

Задача на сложение координат

Перейдём к заданиям, которые часто встречаются при изучении алгебры в школе и предлагаются для подготовки к ЕГЭ. На рисунке, который представлен ниже, изображён график функции. Требуется вычислить сумму точек экстремума.

Сделаем это для оси ординат, определив координаты критических областей, где наблюдается изменение характеристик функции. Проще говоря, найдём значения по оси ОХ для точек перегиба, а затем перейдём к сложению полученных членов. По графику очевидно, что они принимают следующие значения: -8; -7 ; -5; -3; -2; 1; 3. В сумме это составляет -21, что и является ответом.

Оптимальное решение

Не стоит объяснять, насколько может оказаться важным в выполнении практических заданий выбор оптимального решения.

Ведь путей достижения цели бывает много, а наилучший выход, как правило, — всего один.

Это бывает крайне необходимо, к примеру, при конструировании судов, космических кораблей и самолётов, архитектурных сооружений для нахождения оптимальной формы данных рукотворных объектов.

Быстроходность средств передвижения во многом зависит от грамотного сведения к минимуму сопротивления, которое они испытывают при перемещении по воде и воздуху, от перегрузок, возникающих под действием гравитационных сил и многих других показателей.

Кораблю на море необходимы такие качества, как устойчивость во время шторма, для речного судна важна минимальная осадка. При расчётах оптимальной конструкции точки экстремума на графике наглядно могут дать представление о наилучшем решении сложной проблемы.

Задачи такого плана часто решаются в экономике, в хозяйственных областях, во множестве других жизненных ситуаций.

Из античной истории

Задачи на экстремум занимали даже древних мудрецов. Греческие учёные с успехом разгадали тайну площадей и объёмов путём математических вычислений. Это они первыми поняли, что на плоскости из разнообразных фигур, обладающих одним и тем же периметром, наибольшую площадь всегда имеет круг.

Аналогичным образом шар наделён максимальным объёмом среди остальных предметов в пространстве с одинаковой величиной поверхности. Решению подобных задач посвятили себя такие известнейшие личности, как Архимед, Евклид, Аристотель, Аполлоний. Найти точки экстремума прекрасно удавалось Герону, который, прибегнув к расчётам, сооружал хитроумные устройства.

К ним относились автоматы, перемещающиеся посредством пара, работающие по тому же принципу насосы и турбины.

Строительство Карфагена

Существует легенда, сюжет которой построен на решении одной из экстремальных задач. Результатом делового подхода, который продемонстрировала финикийская царевна, обратившаяся за помощью к мудрецам, стало строительство Карфагена.

Земельный участок для этого древнего и прославленного города подарил Дидоне (так звали правительницу) вождь одного из африканских племён. Площадь надела не показалась ему вначале очень большой, так как по договору должна была покрываться воловьей шкурой.

Но царевна повелела своим воинам разрезать её на тонкие полосы и составить из них ремень. Он получился настолько длинным, что охватил участок, где уместился целый город.

Истоки математического анализа

А теперь перенесёмся из античных времён в более позднюю эпоху. Интересно, что к осознанию основ математического анализа подтолкнула Кеплера в XVII веке встреча с продавцом вина.

Торговец был настолько сведущ в своей профессии, что легко мог определить объём находящегося в бочке напитка, просто опуская туда железный жгут. Размышляя над подобным курьёзом, знаменитый учёный сумел решить для себя эту дилемму.

Оказывается, искусные бочары тех времён наловчились изготавливать сосуды таким образом, чтобы при определённой высоте и радиусе окружности скрепляющих колец они имели максимальную вместимость.

Это стало для Кеплера поводом для дальнейших размышлений. Бочары пришли к оптимальному решению методом долгого поиска, ошибок и новых попыток, передавая свой опыт из поколения в поколение.

Но Кеплер хотел ускорить процесс и научиться делать то же самое в короткий срок путём математических вычислений.

Все его наработки, подхваченные коллегами, превратились в известные ныне теоремы Ферма и Ньютона — Лейбница.

Задача на нахождение максимальной площади

Представим, что мы имеем проволоку, длина которой равна 50 см. Как составить из неё прямоугольник, обладающий наибольшей площадью?

Начиная решение, следует исходить из простых и известных любому истин. Понятно, что периметр нашей фигуры будет составлять 50 см. Он же складывается из удвоенных длин обеих сторон. Это значит, что, обозначив за «Х» одну из них, другую возможно выразить как (25 – Х).

Отсюда получаем площадь, равную Х(25 – Х). Данное выражение можно представить как функцию, принимающую множество значений. Решение задачи требует найти максимальное из них, а значит, следует узнать точки экстремума.

Для этого находим первую производную и приравниваем её нулю. В результате получается простое уравнение: 25 – 2Х = 0.

Из него мы узнаём, что одна из сторон Х = 12,5.

Следовательно, другая: 25 – 12,5 = 12,5.

Получается, что решением задачи будет квадрат со стороной 12,5 см.

Как найти максимальную скорость

Рассмотрим ещё один пример. Представим, что существует тело, прямолинейное движение которого описывается уравнением S = — t3 + 9t2 – 24t – 8, где пройденное расстояние выражается в метрах, а время в секундах. Требуется найти максимальную скорость. Как это сделать? Скачала находим скорость, то есть первую производную.

Получаем уравнение: V = — 3t2 + 18t – 24. Теперь для решения задачи снова нужно найти точки экстремума. Сделать это необходимо тем же способом, что и в предыдущей задаче. Находим первую производную от скорости и приравниваем её к нулю.

Получаем: — 6t + 18 = 0. Отсюда t = 3 с. Это время, когда скорость тела принимает критическое значение. Подставляем полученное данное в уравнение скорости и получаем: V = 3 м/с.

Но как понять, что это именно максимальная скорость, ведь критическими точками функции могут быть наибольшие или наименьшие её значения? Для проверки необходимо найти вторую производную от скорости.

Она выражается числом 6 со знаком минус. Это значит, что найденная точка является максимумом. А в случае положительного значения второй производной был бы минимум.

Значит, найденное решение оказалось правильным.

Приведённые в качестве примера задачи являются лишь частью из тех, которые возможно решить, умея находить точки экстремума функции. На самом деле их гораздо больше. А подобные знания открывают перед человеческой цивилизацией неограниченные возможности.

Источник: https://FB.ru/article/344691/tochki-ekstremuma-funktsii-kak-nayti-tochki-ekstremuma-summa-tochek-ekstremuma

Максимумы, минимумы и экстремумы функций

Как определить точку экстремума

Также можно сказать, что в этих точках меняется направление движения функции: если функция перестает падать и начинает расти – это точка минимума, наоборот – максимума.

Минимумы и максимумы вместе именуют экстремумами функции

Иными словами, все пять точек, выделенных на графике выше, являются экстремумами.

В точках экстремумов (т.е. максимумов и минимумов) производная равна нулю

Благодаря этому найти эти точки не составляет проблем, даже если у вас нет графика функции.

Внимание! Когда пишут экстремумы или максимумы/минимумы имеют в виду значение функции т.е. \(y\). Когда пишут точки экстремумов или точки максимумов/минимумов имеют в виду иксы в которых достигаются максимумы/минимумы. Например, на рисунке выше, \(-5\) точка минимума (или точка экстремума), а \(1\) – минимум (или экстремум).

Давайте вместе найдем количество точек экстремума функции по графику производной на примере:

У нас дан график производная — значит ищем в каких точках на графике производная равна нулю. Очевидно, это точки \(-13\), \(-11\), \(-9\),\(-7\) и \(3\). Количество точек экстремума функции – \(5\).

Внимание! Если дан график производной функции, а нужно найти точки экстремумов функции, мы не считаем максимумы и минимумы производной! Мы считаем точки, в которых производная функции обращается в ноль (т.е. пересекает ось \(x\)).

         

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно вспомнить еще два важных правил:

— Производная положительна там, где функция возрастает.
— Производная отрицательна там, где функция убывает.

С помощью этих правил давайте найдем на графике производной точки минимума и максимума функции.

Понятно, что минимумы и максимумы надо искать среди точек экстремумов, т.е. среди \(-13\), \(-11\), \(-9\),\(-7\) и \(3\).

Чтобы проще было решать задачу расставим на рисунке сначала знаки плюс и минус, обозначающие знак производной. Потом стрелки – обозначающие возрастание, убывания функции.

Начнем с \(-13\): до \(-13\) производная положительна т.е. функция растет, после — производная отрицательна т.е. функция падает. Если это представить, то становится ясно, что \(-13\) – точка максимума.

\(-11\): производная сначала положительна, а потом отрицательна, значит функция возрастает, а потом убывает. Опять попробуйте это мысленно нарисовать и вам станет очевидно, что \(-11\) – это минимум.

\(- 9\): функция возрастает, а потом убывает – максимум.

\(-7\): минимум.

\(3\): максимум.

Все вышесказанное можно обобщить следующими выводами:

— Функция имеет максимум там, где производная равна нулю и меняет знак с плюса на минус.
— Функция имеет минимум там, где производная равна нулю и меняет знак с минуса на плюс.

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно делать все то же, что и в предыдущем пункте: находить где производная положительна, где отрицательна и где равна нулю. Чтобы было понятнее напишу алгоритм с примером решения:

  1. Найдите производную функции \(f'(x)\). 
  2. Найдите корни уравнения \(f'(x)=0\). 
  3. Нарисуйте ось \(x\) и отметьте на ней точки полученные в пункте 2, изобразите дугами промежутки, на которые разбивается ось. Подпишите над осью \(f'(x)\), а под осью \(f(x)\).
  4. Определите знак производной в каждом промежутке (методом интервалов). 
  5. Поставьте знак производной в каждом промежутке (над осью), а стрелкой укажите возрастание (↗) или убывание (↘) функции (под осью). 
  6. Определите, как изменился знак производной при переходе через точки, полученные в пункте 2: — если \(f’(x)\) изменила знак с «\(+\)» на «\(-\)», то \(x_1\) – точка максимума; — если \(f’(x)\) изменила знак с «\(-\)» на «\(+\)», то \(x_3\) – точка минимума;

    — если \(f’(x)\) не изменила знак, то \(x_2\) – может быть точкой перегиба.

Всё! Точки максимумов и минимумов найдены.

Изображая на оси точки в которых производная равна нулю – масштаб можно не учитывать. Поведение функции можно показать так, как это сделано на рисунке ниже. Так будет очевиднее где максимум, а где минимум.

Пример(ЕГЭ). Найдите точку максимума функции \(y=3×5-20×3-54\).
Решение: 1. Найдем производную функции: \(y'=15×4-60×2\).

2. Приравняем её к нулю и решим уравнение:

\(15×4-60×2=0\)      \(|:15\) \(x4-4×2=0\) \(x2 (x2-4)=0\) \(x=0\)       \(x2-4=0\)

               \(x=±2\)

3. – 6. Нанесем точки на числовую ось и определим, как меняется знак производной и как движется функция:

Теперь очевидно, что точкой максимума является \(-2\).

Ответ. \(-2\).

Связь функции и её производной | 7 задача ЕГЭ
Разбор задач на поиск экстремумов, минимумов и максимумов

Скачать статью

Источник: http://cos-cos.ru/math/327/

Алгебра – 10 класс. Точки экстремумов функций

Как определить точку экстремума

Что будем изучать:

1. Введение.2. Точки минимума и максимума.3. Экстремум функции.4. Как вычислять экстремумы?5. Примеры.

Введение в экстремумы функций

Ребята, давайте посмотрим на график некоторой функции:

Заметит, что поведение нашей функции y=f (x) во многом определяется двумя точками x1 и x2. Давайте внимательно посмотрим на график функции в этих точках и около них.

До точки x2 функция возрастает, в точке x2 происходит перегиб, и сразу после этой точки функция убывает до точки x1. В точке x1функция опять перегибается, и после этого — опять возрастает.

Точки x1 и x2 пока так и будем называть точками перегиба. Давайте проведем касательные в этих точках:

Касательные в наших точках параллельны оси абсцисс, а значит, угловой коэффициент касательной равен нулю. Это значит, что и производная нашей функции в этих точках равна нулю.

Посмотрим на график вот такой функции:

Касательные в точках x2 и x1 провести невозможно. Значит, производной в этих точках не существует. Теперь посмотрим опять на наши точки на двух графиках. Точка x2 — это точка, в которой функция достигает наибольшего значения в некоторой области (рядом с точкой x2). Точка x1 — это точка, вкоторой функция достигает своего наименьшего значения в некоторой области (рядом с точкой x1).

Точки минимума и максимума

Определение: Точку x= x0 называют точкой минимума функции y=f(x), если существует окрестность точки x0, в которой выполняется неравенство: f(x) ≥ f(x0).

Определение: Точку x=x0 называют точкой максимума функции y=f(x), если существует окрестность точки x0, в которой выполняется неравенство: f(x) ≤ f(x0).

Ребята, а что такое окрестность?

Определение: Окрестность точки — множество точек, содержащее нашу точку, и близкие к ней.

Окрестность мы можем задавать сами. Например, для точки x=2, мы можем определить окрестность в виде точек 1 и 3.

Вернемся к нашим графикам, посмотрим на точку x2, она больше всех других точек из некоторой окрестности, тогда по определению — это точка максимума. Теперь посмотрим на точку x1, она меньше всех других точек из некоторой окрестности, тогда по определению — это точка минимума.

Ребята, давайте введем обозначения:

ymin — точка минимума,
ymax — точка максимума.

Важно! Ребята, не путайте точки максимума и минимума с наименьшим и наибольшим значение функции. Наименьшее и наибольшее значения ищутся на всей области определения заданной функции, а точки минимума и максимума в некоторой окрестности.

Экстремумы функции

Для точек минимума и максимума есть общей термин – точки экстремума.

Экстремум (лат. extremum – крайний) – максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума.

Соответственно, если достигается минимум – точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум – точкой максимума.

Как же искать экстремумы функции?

Давайте вернемся к нашим графикам. В наших точках производная либо обращается в нуль (на первом графике), либо не существует (на втором графике).

Тогда можно сделать важное утверждение: Если функция y= f(x) имеет экстремум в точке x=x0, то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не существует.

Точки, в которых производная равна нулю называются стационарными.

Точки, в которых производной функции не существует, называются критическими.

Как вычислять экстремумы?

Ребята, давайте опять вернемся к первому графику функции:

Анализируя этот график, мы говорили: до точки x2 функция возрастает, в точке x2 происходит перегиб, и после этой точки функция убывает до точки x1. В точке x1 у функции опять перегибается, и после этогофункция опять возрастает.

На основании таких рассуждений, можно сделать вывод, что функция в точках экстремума меняет характер монотонности, а значит и производная функция меняет знак. Вспомним: если функция убывает, то производная меньше либо равно нулю, а если функция возрастает, то производная больше либо равна нулю.

Обобщим полученные знания утверждением:

Теорема: Достаточное условие экстремума: пусть функция y=f(x) непрерывна на некотором промежутке Х и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку x= x0.

Тогда:

  • Если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x < x0 выполняется f’(x) < 0, а при x > x0 выполняется f’(x)>0, то точка x0 – точка минимума функции y= f(x).
  • Если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x < x0 выполняется f ’(x)>0, а при x> x0 выполняется f’(x)Если у этой точки существует такая окрестность, в которой и слева и справа от точки x0 знаки производной одинаковы, то в точке x0 экстремума нет.

Для решении задач запомните такие правила: Если знаки производных определены то:

Алгоритм исследования непрерывной функции y= f(x) на монотонность и экстремумы:

  • Найти производную y’.
  • Найти стационарные(производная равна нулю) и критические точки (производная не существует).
  • Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках.
  • По указанным выше утверждениям сделать вывод о характере точек экстремума.

Примеры нахождения точки экстремумов

1) Найти точки экстремума функции и определить их характер: y= 7+ 12*x — x3

Решение: Наша функция непрерывна, тогда воспользуемся нашим алгоритмом:
а) y'= 12 — 3×2,б) y'= 0, при x= ±2,

в) отметим стационарные точки на числовой прямой и определим знаки производной:

г) посмотрим на наш рисунок, где изображены правила определения экстремумов. Точка x= -2 — точка минимума функции, точка x= 2 — точка максимума функции.Ответ: x= -2 — точка минимума функции, x= 2 — точка максимума функции.

2) Найти точки экстремума функции и определить их характер.

Решение: Наша функция непрерывна. Воспользуемся нашим алгоритмом:
а) б) в точке x= 2 производная не существует, т.к. на нуль делить нельзя,Область определения функции: [2; +∞], в этой точки экстремума нет, т.к. окрестность точки не определена.

Найдем значения, в которой производная равна нулю:в) Отметим стационарные точки на числовой прямой и определим знаки производной:г) посмотрим на наш рисунок, где изображены правила определения экстремумов. Точка x= 3 — точка минимума функции.Ответ: x= 3 — точка минимума функции.

3) Найти точки экстремума функции y= x — 2cos(x) и определить их характер, при -π ≤ x ≤ π.

Решение: Наша функция непрерывна, воспользуемся нашим алгоритмом:а) y'= 1 + 2sin(x),б) найдем значения в которой производная равна нулю: 1 + 2sin(x)= 0, sin(x)= -1/2, т.к. -π ≤ x ≤ π, то: x= -π/6, -5π/6,

в) отметим стационарные точки на числовой прямой и определим знаки производной:г) посмотрим на наш рисунок, где изображены правила определения экстремумов.

Точка x= -5π/6 — точка максимума функции.Точка x= -π/6 — точка минимума функции.Ответ: x= -5π/6 — точка максимума функции, x= -π/6 — точка минимума функции.

4) Найти точки экстремума функции и определить их характер:

Решение: Наша функция имеет разрыв только в одной точке x= 0.

Воспользуемся алгоритмом:
а)б) найдем значения в которой производная равна нулю: y'= 0 при x= ±2,
в) отметим стационарные точки на числовой прямой и определим знаки производной: г) посмотрим на наш рисунок, где изображены правила определения экстремумов.Точка x= -2 точка минимума функции.Точка x= 2 — точка минимума функции. В точке x= 0 функция не существует.Ответ: x= ±2 — точки минимума функции.

Задачи для самостоятельного решения

а) Найти точки экстремума функции и определить их характер: y= 5×3 — 15x — 5.б) Найти точки экстремума функции и определить их характер:

в) Найти точки экстремума функции и определить их характер: y= 2sin(x) — x при π ≤ x ≤ 3π.

г) Найти точки экстремума функции и определить их характер:

Источник: https://mathematics-tests.com/algebra-10-klass-urok-ekstremumy-funktsii

Понятие экстремума функции

Как определить точку экстремума
Определение

Точка $x_{0}$ называется точкой локального максимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность этой точки, что для всех $x$ из этой окрестности выполняется неравенство: $f(x) \leq f\left(x_{0}\right)$.

Точка $x_{0}$ называется точкой локального минимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность этой точки, что для всех $x$ из этой окрестности $f(x) \geq f\left(x_{0}\right)$.

Значение функции в точке максимума называется локальным максимумом, значение функции в точке минимума —локальным минимумом данной функции. Локальные максимум и минимум функции называются локальными экстремумами.

Точка $x_{0}$ называется точкой строгого локальногомаксимума функции $y=f(x)$, если для всех $x$ из окрестности этой точки будет справедливострогое неравенство $f(x)< f\left(x_{0}\right)$.

Точка $x_{0}$ называется точкой строгого локальногоминимума функции $y=f(x)$, если для всех $x$ из окрестности этой точки будетсправедливо строгое неравенство $f(x)>f\left(x_{0}\right)$.

Наибольшее или наименьшее значение функции на промежутке называется глобальным экстремумом.

Замечание

Глобальный экстремум может достигаться либо в точках локального экстремума, либо на концах отрезка.

Необходимое условие экстремума

Теорема

(Необходимое условие экстремума)

Если функция $y=f(x)$ имеет экстремум в точке $x_{0}$, то ее производная $f{\prime}\left(x_{0}\right)$ либо равна нулю, либо не существует.

Точки, в которых производная равна нулю: $f{\prime}(x)=0$,называются стационарными точками функции.

Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума для непрерывной функции, называютсякритическими точками этой функции. То есть критические точки — это либо стационарные точки (решенияуравнения $f{\prime}(x)=0$), либо это точки, в которых производная $f{\prime}(x)$ не существует.

Замечание

Не в каждой своей критической точке функция обязательно имеет максимум или минимум.

Первое достаточное условие экстремума

Теорема

(Первое достаточное условие экстремума)

Пусть для функции $y=f(x)$ выполнены следующие условия:

  1. функция непрерывна в окрестности точки $x_{0}$;
  2. $f{\prime}\left(x_{0}\right)=0$ или $f{\prime}\left(x_{0}\right)$ не существует;
  3. производная $f{\prime}(x)$ при переходе через точку $x_{0}$ меняет свой знак.

Тогда в точке $x=x_{0}$ функция $y=f(x)$ имеет экстремум, причем это минимум, если при переходе через точку $x_{0}$ производная меняет свой знак с минуса на плюс; максимум, если при переходе через точку $x_{0}$ производная меняет свой знак с плюса на минус.

Если производная $f{\prime}(x)$ при переходе через точку $x_{0}$ не меняет знак, то экстремума в точке $x=x_{0}$ нет.

Таким образом, для того чтобы исследовать функцию $y=f(x)$на экстремум, необходимо:

  1. найти производную $f{\prime}(x)$;
  2. найти критические точки, то есть такие значения $x$, в которых $f{\prime}(x)=0$ или $f{\prime}(x)$ не существует;
  3. исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки;
  4. найти значение функции в экстремальных точках.

Пример

Задание. Исследовать функцию $y(x)=x{4}-1$ на экстремум.

Решение. Находим производную заданной функции:

$y{\prime}=\left(x{4}-1\right){\prime}=4 x{3}$

Далее ищем критические точки функции, для этого решаем уравнение $y{\prime}(x)=0$:

$y{\prime}=4 x{3}=0 \Rightarrow x=0$

Первая производная определена во всех точках. Таким образом, имеем одну критическую точку $x=0$. Наносим эту точку на координатную прямую и исследуем знак производной слева и справа от этой точки (для этого из каждого промежутка берем произвольное значение и находим значение производной в выбранной точке, определяем знак полученной величины):

Так как при переходе через точку $x=0$ производная сменила свой знак с «-» на «+», то в этой точке функция достигает минимума (или минимального значения), причем $y_{\min }=y(0)=0{4}-1=-1$.

Замечание. Также можно определить интервалы монотонности функции: так как на интервале $(-\infty ; 0)$ производная $y{\prime}(x)0$, значит заданная функция возрастает на нем.

Ответ. $y_{\min }=y(0)=-1$

Теорема

(Второе достаточное условие экстремума)

Пусть для функции $y=f(x)$ выполнены следующие условия:

  1. она непрерывна в окрестности точки $x_{0}$;
  2. первая производная $f{\prime}(x)=0$ в точке $x_{0}$;
  3. $f{\prime \prime}(x) eq 0$ в точке $x_{0}$ .

Тогда в точке $x_{0}$ достигается экстремум, причем, если $f{\prime \prime}\left(x_{0}\right)>0$, то в точке $x=x_{0}$ функция $y=f(x)$ имеет минимум; если $f{\prime \prime}\left(x_{0}\right)

Пример

Задание. Исследовать функцию $y(x)=\frac{x{2}-1}{x{2}+1}$ на экстремум с помощью второй производной.

Решение. Находим первую производную заданной функции:

$y{\prime}(x)=\left(\frac{x{2}-1}{x{2}+1}\right){\prime}=\frac{2 x\left(x{2}+1\right)-\left(x{2}-1\right) \cdot 2 x}{\left(x{2}+1\right){2}}=\frac{4 x}{\left(x{2}+1\right){2}}$

Находим точки, в которых первая производная равна нулю:

$y{\prime}(x)=0 \Rightarrow \frac{4 x}{\left(x{2}+1\right){2}}=0 \Rightarrow x=0$

Вторая производная заданной функции:

$y{\prime \prime}(x)=\left(\frac{4 x}{\left(x{2}+1\right){2}}\right){\prime}=\frac{4\left(x{2}+1\right){2}-4 x \cdot 2\left(x{2}+1\right) \cdot 2 x}{\left(x{2}+1\right){4}}=$

$=-\frac{4\left(3 x{2}-1\right)}{\left(x{2}+1\right){3}}$

В стационарной точке $x=0$ вторая производная $y{\prime \prime}(0)=-\frac{4 \cdot(-1)}{1{3}}=4>0$, а значит, в этой точке функция достигает минимум, причем $y_{\min }=y(0)=\frac{0{2}-1}{0{2}+1}=-1$.

Ответ. $y_{\min }=y(0)=-1$

Читать дальше: наибольшее и наименьшее значение функции.

Вы поняли, как решать? Нет?

$ называется точкой локального максимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность этой точки, что для всех $x$ из этой окрестно»,»word_count»:639,»direction»:»ltr»,»total_pages»:1,»rendered_pages»:1}

Источник: https://www.webmath.ru/poleznoe/formules_8_22.php

Делаем просто
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: