Как построить эллипс

Как построить эллипс по уравнению

Как построить эллипс

Эллипс – геометрическое место точек M(x;y), сумма расстояний которых до двух данных точек F1F2 имеет одно и то же значение 2a:

точки F1 и F2 – называются фокусами эллипса;

расстояние F1F2 – фокусное расстояние и равно F1F2=2с;

a — большая полуось;

b — малая полуось;

c — фокальный радиус, то есть полу расстояние между фокусами;

p — фокальный параметр;

Rmin – минимальное расстояние от фокуса до точки на эллипсе;

Rmax — максимальное расстояние от фокуса до точки на эллипсе;

где

Длина малой оси эллипса 134 м. Длина большой оси равна 140 м. Найти коэффициент сжатия k и сжатие α этого эллипса

Постройте кривую 4x 2 +9y 2 =36. Найдите фокусы, фокальный параметр и эксцентриситет.

Делим обе части на 36 и получаем каноническое уравнение эллипса

a=3, b=2

c 2 =a 2 -b 2 =3 2 -2 2 =9-4=5

Отсюда находим Фокусы F1(-2,2;0) F2(2,2;0)

Фокальный параметр находим следующим образом
Эксцентриситет эллипса

Пример 3
Постройте кривую . Найдите фокусы и эксцентриситет.

Решение Уравнение запишем в виде

a=1, b=5
Это уравнение не является каноническим уравнением эллипса, так как b>a, а должно быть bc 2 =a 2 − b 2 =5 2 −1 2 =25 − 1=24

Следовательно, фокусы в системе координат (x’;y’) имеют координаты (-4,9;0) и (4,9;0), а в системе (x;y) координаты

Эксцентриситет эллипса равен

Понятие о кривых второго порядка

Кривыми второго порядка на плоскости называются линии, определяемые уравнениями, в которых переменные координаты x и y содержатся во второй степени. К ним относятся эллипс, гипербола и парабола.

Общий вид уравнения кривой второго порядка следующий:

,

где A, B, C, D, E, F – числа и хотя бы один из коэффициентов A, B, C не равен нулю.

При решении задач с кривыми второго порядка чаще всего рассматриваются канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы. К ним легко перейти от общих уравнений, этому будет посвящён пример 1 задач с эллипсами.

Эллипс, заданный каноническим уравнением

Определение эллипса. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, таких, для которых сумма расстояний до точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и бОльшая, чем расстояние между фокусами.

Фокусы обозначены как и на рисунке ниже.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид:

,

где a и b (a > b) – длины полуосей, т. е. половины длин отрезков, отсекаемых эллипсом на осях координат.

Прямая, проходящая через фокусы эллипса, является его осью симметрии. Другой осью симметрии эллипса является прямая, проходящая через середину отрезка перпендикулярно этому отрезку. Точка О пересечения этих прямых служит центром симметрии эллипса или просто центром эллипса.

Ось абсцисс эллипс пересекает в точках (a, О) и (- a, О), а ось ординат – в точках (b, О) и (- b, О). Эти четыре точки называются вершинами эллипса. Отрезок между вершинами эллипса на оси абсцисс называется его большой осью, а на оси ординат – малой осью. Их отрезки от вершины до центра эллипса называются полуосями.

Если a = b , то уравнение эллипса принимает вид . Это уравнение окружности радиуса a , а окружность – частный случай эллипса. Эллипс можно получить из окружности радиуса a , если сжать её в a/b раз вдоль оси Oy .

Пример 1. Проверить, является ли линия, заданная общим уравнением , эллипсом.

Решение. Производим преобразования общего уравнения. Применяем перенос свободного члена в правую часть, почленное деление уравнения на одно и то же число и сокращение дробей:

Ответ. Полученное в результате преобразований уравнение является каноническим уравнением эллипса. Следовательно, данная линия – эллипс.

Пример 2. Составить каноническое уравнение эллипса, если его полуоси соответственно равны 5 и 4.

Решение. Смотрим на формулу канонического уравения эллипса и подставляем: бОльшая полуось – это a = 5 , меньшая полуось – это b = 4 . Получаем каноническое уравнение эллипса:

.

Точки и , обозначенные зелёным на большей оси, где

Источник: https://planshet-info.ru/kompjutery/kak-postroit-jellips-po-uravneniju

Плоские кривые — Построение кривых

Как построить эллипс

Решение практических задач по формированию сложных технических контуров наталкивается на такую проблему, как невозможность представления всего контура единственной кривой. Это и породило необходимость конструирования составных кривых (кривых, сформированных из дуг простых).

В технике такие кривые получили название обводов, в математике они более известны как сплайны (spline). Основной характеристикой обвода является гладкость. Под гладкостью понимают число совпавших производных (уравнений стыкующихся кривых) в точках стыка.

Наиболее простой вариант построения составной кривой — из дуг окружностей.

Окружности могут сопрягаться таким образом, что в точках стыка будут располагаться общие касательные. Такой стык соответствует первому порядку гладкости (совпадают только первые производные).

Для построения этого обвода используется идея радиусо-графического сопряжения дуг окружностей. Исходной информацией является точечный ряд (1, 2, 3, …, n) и касательная на одном из концов этого ряда, например, ti (рисунок 1).

Вследствие того, что окружность трехпараметрическая кривая, для её построения кроме точки i нужно определить еще одну, например (i+1) или (i-1). Не нарушая общности рассуждений, рассмотрим вариант с (i+1)-ой точкой (рисунок ниже).

Рисунок 1 — Построение дуги окружности с заданными параметрами
Рисунок 2 — Построение обвода первого порядка гладкости

Графическое решение выглядит следующим образом: через точку i проводится нормаль n. Конечные точки i и (i+1) соединяются хордой. В средней точке хорды строится перпендикуляр h.

Пересечение нормали n и перпендикуляра h и определит положение центра искомой окружности. Радиус окружности совпадает с отрезками [o-i] и [o-(i+1)].

Касательная к построенной окружности будет перпендикулярна радиусу, проведенному в (i+1)-ю точку.

Центры соприкасающихся окружностей лежат на одной прямой, проходящей через точку касания. Таким образом, определение центра окружности сопрягающейся с i-той найдется на пересечении линии Оi(i+1) с перпендикуляром к середине хорды (i+1)(i+2) (рисунок 2).

Построение кривых

Ниже приведено построение наиболее наиболее употребительных кривых. На картинке приведена кривая и сохранены все построения. Ниже описан алгоритм построения кривой.

Лекальные кривые

Построение синусоиды

Рисунок 3 — Построение синусоиды

Синусоидой называется плоская кривая, графически изображающая изменение синуса в зависимости от его аргумента (угла). Для построения синусоиды окружность радиуса R делят на произвольное количество равных частей.

На горизонтальной прямой откладывают отрезок, равный половине длины окружности (R*3.14), и делят его на такое же число равных частей.

Из концов этих отрезков (точки 1′,2′,3′) проводят вертикальные прямые до пересечения с горизонтальными прямыми, исходящими из концов соответствующих радиусов (точки 1,2,3).

Построение циклоиды

Рисунок 4 — Построение циклоиды

Циклоидой называется кривая, образованная точкой окружности, катящейся без скольжения по прямой линии. Для построения циклоиды окружность радиуса R делят на произвольное количество равных частей. На горизонтальной прямой откладывают отрезок, равный половине длины окружности (R*3.

14), и делят его на такое же число равных частей.

Из концов этих отрезков (точки 1′,2′,3′) проводят вертикальные прямые до пересечения с горизонтальной осевой линией. Эти точки будут центрами окружностей радиуса R. Пересечения окружностей с соответствующими горизонтальными прямыми, исходящими из концов радиусов (точки 1,2,3), дадут точки циклоиды.

Построение эвольвенты

Рисунок 5 — Построение эвольвенты

Эвольвентой окружности называется кривая, которую описывает точка прямой линии, катящейся без скольжения по неподвижной окружности. Окружность диаметра D делят на произвольное число равных частей. Из точек деления проводят касательные к окружности, на которых откладывают соответственно 1, 2, 3 и т.д. части окружности.

Построение параболы

Рисунок 6 — Построение параболы

Параболойназывается, кривая, полученная при пересечении конуса и плоскости, параллельной образующей конуса. При задании параболы граничными точками А и В и точкой пересечения касательных Т кривая строится методом пропорционального деления.

Отрезок АВ делится пополам в точке О, отрезок ОТ – тоже пополам в точке М, отрезок МК — в точке 1, КВ — в точке 2 и т.д.

Построение эллипса

Рисунок 7 — Построение эллипса

Эллипсомназывается кривая, полученная при пересечении конуса и плоскости, пересекающей все образующее конуса.

Эллипс удобнее стоить по его полуосям (большой ОА и малой ОВ).

Для построения эллипса проводятся две соосные окружности радиусами ОВ и ОА Проведение произвольной прямой ОС и дальнейшее построение ”ключа” (треугольника СDМ со сторонами параллельными осям эллипса) позволяет определить положение текущей точки эллипса М.

Геометрические построения

Ниже даны изображения наиболее распространенных видов геометрических построений и описан алгоритм построения.

Касательная к эллипсу

Рисунок 8 — Касательная к эллипсу

Построение касательной к эллипсу (с полуосями ОА и ОВ) в заданной точке С нужно начинать с построения фокусов эллипса, точек F1 и F2.

Построить окружность с центром в точке В и радиусом, равным большой полуоси ОА. В пересечении окружности с горизонтальной осью отметить точки F1 и F2. Построить биссектрису угла F1СF2. Прямая, перпендикулярная биссектрисе и проходящая через точку С, будет касательной к эллипсу в заданной точке.

Построение биссектрисы угла

Рисунок 9 — Построение биссектрисы угла

Из вершины угла произвольным радиусом построить дугу окружности. Из точек пересечения дуги окружности со сторонами угла построить равные окружности произвольного радиуса R. Прямая, проходящая через вершину угла и точки пересечения окружностей, — биссектриса угла.

Геометрическое построения сопряжения прямых

Рисунок 10 — Сопряжение прямых окружностью заданного радиуса R

На расстоянии R от заданных прямых построить вспомогательные прямые, им параллельные. Из точки пересечения вспомогательных прямых построить сопрягающую окружность заданного радиуса R. Отметить точки сопряжения. Они лежат на перпендикулярах, проведенных из центра сопрягающей окружности к заданным прямым.

Построение сопряжения прямой и дуги

Рисунок 11 — Сопряжение окружностью заданного радиуса R прямой и дуги

На расстоянии R от заданной прямой построить вспомогательную прямую, ей параллельную. Из центра сопрягаемой дуги провести дугу окружности с радиусом r + R. Из точки пересечения построенной дуги и вспомогательной прямой построить сопрягающую окружность. Отметить точки сопряжения.

Построение сопряжения двух окружностей

Рисунок 12 — Внешнее сопряжение окружностью с заданным радиусом R двух окружностей с радиусами R1 и R2

Из центров заданных окружностей провести дуги вспомогательных окружностей с радиусами R1+R и R2+R. Из точки пересечения дуг вспомогательных окружностей построить сопрягающую окружность радиуса R. Отметить точки сопряжения. Они лежат на прямых, соединяющих центры окружностей.

Геометрические построения смешанного сопряжения

Рисунок 13 — Смешанное сопряжение окружностью с заданным радиусом R двух окружностей с радиусами R1 и R2

Из центров заданных окружностей провести дуги вспомогательных окружностей с радиусами R1-R и R2+R. Из точки пересечения дуг вспомогательных окружностей построить сопрягающую окружность радиуса R. Отметить точки сопряжения. Они лежат на прямых, соединяющих центры окружностей.

Источник: https://chertimvam.ru/ploskie-krivye-postroenie-krivyh/

Эллипс – фокусное расстояние, уравнение, свойства и эксцентриситет фигуры

Как построить эллипс

Эллипс – это множество точек плоскости, сумма расстояний которых от двух заданных точек, что называются фокусами, есть постоянная величина и равна .

Обозначим фокусы эллипса и . Допустим, что расстояние  = – фокусное расстояние.

Рис. 1

– фокусы .

; ,

– половина расстояния между фокусами;

– большая полуось;

– малая полуось.

Теорема:

Фокусное расстояние и полуоси связаны соотношением:

 Если точка находится на пересечении эллипса с вертикальной осью, (теорема Пифагора). Если же точка находится на пересечении его с горизонтальной осью, . Так как по определению сумма – постоянная величина, то приравнивая получается:

.

Уравнение эллипса

Уравнение элиппса бывает двух видов:

  1. Каноническое уравнение эллипса.
  2. Параметрическое уравнение эллипса.

Сначала рассмотрим каноническое уравнение эллипса:

Уравнение описывает эллипс в декартовой системе координат. Если центр эллипсa в начале системы координат, а большая ось лежит на абсциссе, то эллипс описывается уравнением:

Если центр эллипсa смещен в точку с координатами  тогда уравнение:

Чтобы получить каноническое уравнение эллипса, разместим и на оси симметричной к началу координат. Тогда у фокусов будут такие координаты и (см. рис. 2).

Пусть – произвольная точка эллипса. Обозначим через и – расстояние от точки к фокусам. Согласно с определением эллипса:

(1)

Рис. 2

Подставим в (1) , и освободимся от иррациональности, подняв обе части к квадрату, получим:

 (подносим к квадрату обе части): ,

Обозначим: , получаем каноническое уравнение эллипса:

(2)

Отметим, что по известному свойству треугольника (сумма двух сторон  больше третьей) из у нас получается . Так как , тогда , и поэтому .

Для построения эллипса обратим внимание, что если точка принадлежит эллипсу, то есть удовлетворяет уравнение (2), тогда точки тоже удовлетворяют это уравнение: из

.

Точки – расположены симметрично относительно осей координат. Значит, эллипс – фигура, симметричная относительно координатных осей. Поэтому достаточно построить график в первой четверти, а тогда симметрично продолжить его.

Из уравнения (2) находим , для первой четверти .

Если , тогда . Если же , тогда . Точки и , а также симметричные с ними , – вершины эллипса, точка – центр эллипса, = большая ось, – малая ось эллипса.

Если первой четверти, тогда из получается, что при возрастании от к значение падает от к . (рис. 3)

Параметрическое уравнение выглядит так:

Основные свойства эллипса

Рассмотрим основные свойства эллипса, которые необходимы для решения многих задач.

1. Угол между касательной к эллипсу и фокальным радиусом  равен углу между касательной и фокальным радиусом .

2. Уравнение касательной к эллипсу в точке с координатами :

.

3. Если эллипс пересекается двумя параллельными прямыми, то отрезок, который соединяет середины отрезков образовавшихся при пересечении прямых и эллипса, всегда проходит через середину (центр) эллипсa. (При помощи данного свойства можно построить эллипс при помощи циркуля и линейка, а также найти центр эллипса).

4. Эволюта эллипсa – это астероида, которая растянута вдоль короткой оси.

5. Если вписать эллипс с фокусами и у треугольника , тогда выполняется соотношение:

=

Эксцентриситет эллипса

Значения эксентриситета характеризует степень “сплющенность” эллипса. Если , тогда – получается круг. Если же , тогда – эллипс превращается в отрезок. В некоторых случаях . Для фокальных радиусов приведём без доказательства такие формулы:

 Рис. 3

Эллипс можно построить механическим способом. Из канонического уравнения нужно найти полуоси и , тогда вычислим – полуфокусное расстояние.

Строим фокусы и на расстоянии один от другого Концы не растянутой нити длиной закрепляем в точках  и . Натягивая остриём карандаша нитку, водим остриём по плоскости таким образом, чтобы нитка скользила по острию. Карандаш при этом опишет полуось. Оттягивая нить в противоположную сторону, начертим вторую половину эллипса.

Примеры решения задач

Пример 1

Задача

Задан эллипс уравнением и точки .  Необходимо:

  1. убедиться, что точки и лежат на эллипсе;
  2. найти полуоси эллипса и координаты его фокусов;
  3. найти расстояние от точки к фокусам;
  4. убедиться, что сумма этих расстояний равна длине большой оси;
  5. найти эксентриситет эллипса.

Решение

1. Подставим координаты точки в левую часть уравнения эллипса:

– точка лежит на эллипсе. Аналогично для :

точка лежит на эллипсе.

2. С канонического и данного уравнения эллипса выходит: Из равенства получается:

– полуфокусное расстояние. Координаты фокусов и .

3.  Найдём фокальные радиусы точки :

4. Найдём сумму , что отвечает определению эллипса.

5. Эксцентриситет находится по формуле .

Пример 2

Задача

Найти оси, вершины и фокусы эллипса

Решение

Сведём обычное уравнение к каноническому:

, . Вершины эллипса в точках , , , . Строим вершины на координатных осях  и соединяем плавной линией (см. рис. 2). Так как в данном случае больше, чем , то эллипс, который вытянут вдоль оси , находим полуфокусное расстояние .

Фокусы в точках и . (см. рис. 3)

Рис. 4

Пример 3

Найти оси, вершины и фокусы эллипса или . Построить эллипс.

Сравнивая последнее уравнение с уравнением (2), у нас получается:

, . Откуда находим оси эллипса: , и координаты вершин: , , , . Дальше из формулы:

. Значит, фокусами эллипса есть точки: и . Для построения эллипса отложим на осях и вершины соответственно  соединим их плавной линией, (см. задачу 1).

Замечание! Если в каноническом уравнении большей полуосью будет , тогда фокусы эллипса будут расположены на оси и тогда .

Источник: https://NauchnieStati.ru/spravka/ellips/

Делаем просто
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: